1. Durante um espirro, seus olhos podem fechar por 0,50 s. Se você estiver dirigindo um carro a 90 km/h e espirrar tão fortemente, de quanto se desloca o carro durante o espirro?
R.
Δs = ?
Δt = 0,5 s
v = 90 km/h = 25 m/s
3. Um automóvel viaja em uma estrada reta por 40 km a 30 km/h. Depois, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual é a velocidade média do carro durante essa viagem de 80 km/h? (Suponha que ele se move no sentido positivo de x.) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) Trace o gráfico de x versus t e indique como encontrar a velocidade média no gráfico.
R.
(a)
Δs1 = 40 km
v1 = 30 km/h
t1 = 40/30 = 4/3 h
Δs2 = 40 km
v2 = 60 km/h
t2 = 40/60 = 4/6 h
Δs = Δs1 + Δs2 = 40 + 40 = 80 km
t = t1 + t2 = 4/3 +4/6 = 2 h
v = Δs/t = 80/2 = 40 km/h (no sentido positivo do eixo x)
(b) 40 km/h
(c)
5. A posição de um objeto movendo-se ao longo de um eixo x é dada por x = 3t - 4t² + t³, onde x está em metros e t em segundos. Encontre a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s, (b) 2 s, (c) 3 s, (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é sua velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 4 s? (g) trace o gráfico de x versus t para 0 ≤ t ≥ 4 s e indique como a resposta de (f) pode ser encontrada no gráfico.
R.
(a) x = 3.1 - 4.1² + 1³ = 0 m
(b) x = 3.2 - 4.2² + 2³ = -2 m
(c) x = 3.3 - 4.3² + 3³ = 0 m
(d) x = 4.3 - 4.4² + 4³ = 12 m
(e) x(0) = 3.0 - 4.0² + 0³ = 0 m
x(4) = 12 m
Δx = x(4) - x(0) = 12 - 0 = 12 m
(f) x(2) = -2 m
x(4) = 12 m
Δx = x(4) - x(2) = 12 - (-2) = 14 m
Δt = 4 - 2 = 2 s
v = Δx/Δt = 14/2 = 7 m/s
(g)
7. A função posição x(t) de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x é x = 4,0 - 6,0t², com x em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula (momentaneamente) para? Em que (c) instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) Trace o gráfico de x versus t no intervalo de -5 s a +5 s. (f) Para deslocar a curva no gráfico para a direita, devemos incluir o termo + 20t ou o termo - 20t na expressão de x(t)? (g) O termo incluído aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula momentaneamente para?
R.
(a) v(t) = x'(t) = -12t
Para v(t) = 0, temos -12t = 0, ou seja t = 0 s.
(b) Para t = 0, x(0) = 4 - 6.0 = 4 m.
(c) x(t) = 0
Ou seja, 4 - 6.t² = 0, então t = +- 0,8165 s.
(d) 0,8165 s
(e) x(-5) = 4 - 6.(-5)² = - 146 m
x(-4) = 4 - 6.(-4)² = - 92 m
x(-3) = 4 - 6.(-3)² = - 50 m
x(-2) = 4 - 6.(-2)² = - 20 m
x(-1) = 4 - 6.(-1)² = - 2 m
x(0) = 4 m
x(1) = - 2 m
x(2) = -20 m
x(3) = - 50 m
x(4) = - 92 m
x(5) = - 146 m
(f) Para deslocar o gráfico para a direita, devemos adicionar um termo positivo, portanto, + 20t.
X(t) = 4 + 20t - 6t²
(g) A nova expressão para a velocidade é: v(t) = X'(t) = - 12t + 20
Para v(t) = 0, temos - 12t + 20 = 0, ou seja, t = 1,6667 s
Assim, X(1,6667) = 4 + 20.(1,6667) - 6.(1,6667)² = 20,6667 m
Portanto, o termo adicionado aumenta o valor de x quando a partícula para.
9. Em uma corrida de 1 km, o corredor 1, na raia 1 (com tempo de 2 min, 27,95 s) parece ser mais rápido que o corredor 2, na raia 2 ( 2 min, 28,15 s). Entretanto, o comprimento L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual o maior valor de L2 - L1 pode ter para ainda concluirmos que o corredor 1 é mais rápido?
R.
L1 = 1000 m
L2 = L1 + ΔL então ΔL = L2 - L1
t1 = 147,95 s
t2 = 148,15 s
v1 > v2
L1/t1 > L2/t2
L1/t1 > (L1 + ΔL)/t2
L1.t2/t1 > (L1 + ΔL)
ΔL < L1.t2/t1 - L1ΔL < 1000.148,15/147,95 - 1000
ΔL < 1,3518 m
11. Você está nos Estados Unidos e dirige na rodovia interestadual 10, de San Antonio a Houston, metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a sua velocidade escalar média (a) de San Antonio a Houston, (b) de Houston voltando a San Antonio, e (c) para a viagem inteira? (d) Qual é a sua velocidade média para a viagem inteira? (e) Esboce x versus t para o item (a), supondo que o movimento se dá inteiramente no sentido positivo de x. Mostre como a velocidade média pode ser determinada no gráfico.
R.
(a) Ida:
v1 = 55 km/h para um Δt/2 e um Δs1
v2 = 90 km/h para um Δt/2 e um Δs2
Para a ida, temos: v1 = Δs1/(Δt/2), ou seja, Δs1 = 55.Δt/2
v2 = Δs2/(Δt/2), ou seja, Δs2 = 90.Δt/2
Assim, a velocidade média é a soma das distâncias (Δs1 e Δs2) dividido pelo tempo (Δt).
v = (55.Δt/2 + 90.Δt/2)/Δt = 145/2 = 72,5 km/h
(b) Volta:
v3 = 55 km/h para um Δs/2 e um Δt1
v4 = 90 km/h para um Δs/2 e um Δt2
Para a volta, temos: v3 = (Δs/2)/Δt1, ou seja, Δt1 = Δs/110
v4 = (Δs/2)/Δt2, ou seja, Δt2 = Δs/180
Assim, a velocidade média é a distância (Δs) dividida pelo soma dos tempos (Δt1 + Δt2).
v = Δs/( Δs/110 + Δs/180) = 180.110/290 = 68,27 km/h
(c) V = (72,5 + 68,27)/2 = 70,38 km/h
(d) Vm = (ponto final - ponto inicial)/intervalo de tempo
Vm = 0.
(e)
13. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50t³, onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s; (d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s; e (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. (f) Faça o gráfico de x versus t e indique suas respostas graficamente.
R.
(a) x(2) = 9,75 + 1,5.2³ = 21,75 cm
x(3) = 9,75 + 1,5.3³ = 50,25 cm
Δt = 3 - 2 = 1 s
v = Δs/Δt = 28,5/1 = 28,5 cm/s
(b) v = dx/dt = x'(t) = 4,5.t²
v = x'(2) = 4,5.2² = 18 cm/s
(c) v = x'(3) = 4,5.3² = 40,5 cm/s
(d) v = x'(2,5) = 4,5.(2,5)² = 28,125 cm/s
(e) [x(3) - x(2)]/2 = 28,5/2 = 14,25 cm
o x em questão é 21,75 + 14,25, ou seja, 36 cm
36 = 9,75 + 1,5t³
1,5.t³ = 26,25
t³ = 17,5
t = 2,596 s
v = x'(2,596) = 4,5.(2,596)² = 30,326 cm/s
15. Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x, e 2,4 s depois sua velocidade era 30 m/s no sentido oposto. Qual é a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s?
R.
vo = + 18 m/s
v = - 30 m/s
t = 2,4 s
v = vo + a.t
a = (v-vo)/t = -( 30 - 18)/2,4 = - 20 m/s²
17. A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x é dada por x = 12t² -2t³, onde x está em metros e t em segundos. Determine (a) a posição, (b) a velocidade e (c) a aceleração da partícula em t = 3,0 s. (d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula e (e) em que instante de tempo ela é alcançada? (f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula e (g) em que instante de tempo ela é alcançada? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (outra diferente daquela em t = 0)? (i) Determine a velocidade média da partícula entre t = 0 e t = 3,0 s.
R.
x(t) = 12t² - 2t³
v = x'(t) = 24t - 6t²
a = x''(t) = 24 - 12t
(a) x(3) = 12.3² - 2.3³ = 54 m
(b) v = x'(3) = 24.3 - 6.3² = 18 m/s
(c) a = x''(3) = 24 - 12.3 = -12 m/s²
(d) Maximiza-se a função x(t) = 12t² - 2t³, assim,
x'(t) = 0
24t - 6t² = 0
t(24 - 6t) = 0
t = 0 ou t = 4 (pontos críticos da função)
x(0) = 12.0² - 2.0³ = 0 m
x(4) = 12.4² - 2.4³ = 64 m
Portanto, 64 m.
(e) t = 4 s.
(f) Maximiza-se a função v = x'(t) = 24t - 6t², assim,
x''(t) = 0
24 - 12t = 0
t = 2
v(2) = x'(2) = 24.2 - 6.2² = 24 m/s
Portanto, 24 m/s.
(g) t = 2 s.
(h) v = x'(t) = 0, ou seja,
24t - 6t² = 0
t(24 - 6t) = 0
t = 0 ou t = 4
Só nos interessa a aceleração para t = 4 s, logo,
a = x''(4) = 24 - 12.4 = - 24 m/s².
(i) x(0) = 12.0² - 2.0³ = 0 m
x(3) = 12.3² - 2.3³ = 54 m
Δs = x(3) - x(0) = 54 - 0 = 54 m
Δt = 3 - 0 = 3 s
v = Δs/Δt = 54/3 = 18 m/s
19. A posição de uma partícula deslocando-se ao longo do eixo x depende do tempo conforme a equação x = ct² - bt³, onde x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades (a) da constante c e (b) da constante b? Faça seus valores numéricos iguais a 3,0 e 2,0, respectivamente. (c) Em que instante de tempo a partícula alcança a sua posição x máxima? De t = 0,0 a t = 4,0 s, (d) qual a distância percorrida pela partícula e (e) qual o seu deslocamento? Encontre sua velocidade nos instantes (f) 1,0 s, (g) 2,0 s, (h) 3,0 s, e (i) 4,0 s. Encontre sua aceleração nos instantes (j) 1,0 s, (k) 2,0 s, (l) 3,0 s, e (m) 4,0 s.
R.
x está em metros, ou seja, a soma dos termos ct² e bt³ tem que ter a unidade "metros", o que significa que cada um desses termos tem por unidade, metros. Vejamos:
(a) ct² = [metro]
[c.s²] = [m]
[c] = [m/s²]
(b) bt³ = [metro]
[b.s³] = [m]
[b] = [m/s³]
(c) Maximiza-se a função x(t) = 3t² - 2t³, para isso,
x'(t) = 0, mas, x'(t) = 6t - 6t², ou seja,
6t - 6t² = 0
t(6 - 6t) = 0
t = 0 ou t = 1
Para t = 0, temos x(0) = 3.0² - 2.0³ = 0 m
Para t = 1, temos x(1) = 3.1² - 2.1³ = 1 m
Logo, em t = 1 s, a partícula atinge x = 1 m, sua posição máxima.
(d) x(0) = 3.0² - 2.0³ = 0 m
x(4) = 3.4² - 2.4³ = - 80 m
Distância percorrida é sempre positiva, portanto, 80 m.
(e) - 80 m
(f) v = x'(t) = 6t - 6t², no tempo t = 1 s, temos
v = x'(1) = 6.1 - 6.1² = 0 m/s
(g) x'(2) = 6.2 - 6.2² = -12 m/s
(h) x'(3) = 6.3 - 6.3² = -36 m/s
(i) x'(4) = 6.4 - 6.4² = - 72 m/s
(j) a = x''(t) = 6 -12t, no tempo t = 1 s, temos
a = x''(1) = 6 - 12.1 = -6m/s²
(k) x''(2) = 6 - 12.2 = -18 m/s²
(l) x''(3) = 6 - 12.3 = -30 m/s²
(m) x''(4) = 6 - 12.4 = - 42 m/s²
21. Um elétron possui uma aceleração constante de + 3,2 m/s². Em um certo instante, sua velocidade é de + 9,6 m/s. Qual é a sua velocidade (a) 2,5 s antes e (b) 2,5 s depois?
R.
a = + 3,2 m/s²
to = 0 s
vo = + 9,6 m/s
t1 = - 2,5 s
t2 = 2,5 s
(a) v = vo + a.Δt
v = vo + a.(t1 - to)
v = 9,6 + 3,2 . (-2,5 - 0)
v = 1,6 m/s
(b) v = vo + a. Δt
v = vo + a.(t2 - to)
v = 9,6 + 3,6 . (2,5 - 0)
v = 17,6 m/s²
23. Suponha que uma nave no espaço longínquo se move com aceleração constante igual a 9,8 m/s², o que dá a ilusão de gravidade normal durante o voo. (a) Se ela parte do repouso, quanto tempo levará para atingir a velocidade de um décimo da velocidade da luz, que é igual a 3,0 . 10^8 m/s? (b) Que distância viajará nesse tempo?
R.
vo = 0 m/s
v = 3 . 10^7 m/s
a = 9,8m/s²
Δt = ?
Δs = ?
(a) v = vo + a.Δt
Δt = (v - vo)/a
Δt = (3 . 10^7 - 0)/9,8
Δt = 3,061 . 10^6 s
(b) Δs = vo.Δt + a.Δt²/2
Δs = 0. 3,061 . 10^6 + 9,8 . (3,061.10^6)²/2
Δs = 4,591 . 10^13 m
25. Um elétron com velocidade inicial vo = 1,50 . 10^5 m/s penetra em uma região de comprimento L = 1,00 cm, onde ele é eletricamente acelerado (Fig. 2-19). Ele sai desta região com v = 5,70 . 10^6 m/s. Qual é sua aceleração? (Tal processo ocorre em tubos de televisores antigos.)
R.
vo = 1,5 . 10^5 m/s
v = 5,7 . 10^6 m/s
L = Δx = 1 cm = 1 . 10^-2 m
v² = vo² + 2.a.Δx
a = (v² - vo²)/2.Δx
a = [(5,7 . 10^6)² - (1,5 . 10^5)²]/2 . 1 . 10^-2
a = 1,623 . 10^15 m/s²
27. Um carro viajando a 56,0 km/h encontra-se a 24,0 m de uma barreira quando o motorista aciona os freios. O carro bate na barreira 2,00 s após. (a) Qual é o módulo da aceleração constante do carro antes do impacto? (b) Qual a velocidade do carro no momento do impacto?
R.
vo = 56 km/h = 15,555 m/s
v = ?
Δx = 24 m
Δt = 2 s
(a) Δx = vo.Δt + a.Δt²/2
a = 2.(Δx - vo.Δt)/Δt²
a = 2.(24 - 15,555 . 2)/2²
a = - 3,555 m/s²
módulo, a = 3,555 m/s²
(b) v = vo + a.Δt
v = 15,555 - 3,555.2
v = 8,445 m/s
29. Uma certa cabine de elevador tem um percurso total de 190 m e uma velocidade máxima de 305 m/min. Ela tanto pode acelerar a partir do repouso como desacelerar de volta ao repouso com uma taxa de 1,22 m/s². (a) Qual a distância percorrida pela cabine enquanto ela acelera a partir do repouso até a velocidade máxima? (b) Em quanto tempo ela percorre a distância de 190 m, sem paradas, partindo e chegando ao repouso?
R.
Δx total = 190 m
vmáx = 305 m/min = 5,083 m/s
a = 1,22 m/s²
(a) v² = vo² + 2.a.Δx
Δx = (v² - vo²)/2.aΔx = (50,083² - 0²)/2 . 1,22
Δx = 10,59 m
(b) Calcula-se o tempo desde o repouso à velocidade máxima:
v = vo + a.Δt1
Δt1 = (v - vo)/aΔt1 = (5,083 - 0)/1,22
Δt1 = 4,166 s
Nesse intervalo de tempo, o elevador percorre 10,59 m como vimos no item (a)
Agora, calculamos o tempo desde a velocidade máxima ao repouso:
v = vo + a.Δt2
Δt2 = (v - vo)/aΔt2 = (0 - 5,083)/(- 1,22)
Δt2 = 4,166 s
Nesse intervalo de tempo, o elevador também percorre 10,59 m porque a aceleração (ou desaceleração) tem módulo constante. Não satisfeito? Vamos conferir:
Δx = 5,083 . 4,166 - 1,22 . (4,166)²/2
Δx = 10,59 m
Se o elevador já percorreu 10,59 + 10,59 m e o Δx total = 190 m, então ele ainda tem 190 - 10,59 - 10,59 = 168,82 m a percorrer.
Esses 168,82 m serão percorridos à velocidade constante de 5,083 m/s, distância a qual fica entre a aceleração até a velocidade máxima (5,083 m/s) e a desaceleração até v = 0.
v = Δx/Δt3
Δt3 = Δx/vΔt3 = 168,82/5,083
Δt3 = 33,212 s
Δt = 4,166 + 4,166 + 33,212
Δt = 41,544 s
31. A figura 2-20 descreve o movimento de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x com uma aceleração constante. Quais são o (a) módulo e (b) o sentido da aceleração da partícula?
R.
(a) a = x"(t) = cte
Ou seja, a derivada de segunda ordem da função x(t) é uma constante, isso implica dizer que x(t) é uma função do segundo grau.
Uma função genérica do segundo grau é do tipo x = A.t² + B.t + C, vamos substituir os pontos que temos no gráfico,
(*)Para (2,6)
6 = A.2² + B.2 + C
(**)Para (1,0)
0 = A.1² + B.1 + C
(***)Para (0,-2)
-2 = A.0 + B.0 + C
De (***) tiramos que C = -2, vamos substituir em (**) e em (*):
0 = A + B -2
6 = 4A + 2B - 2
A = 2
B = 0
Portanto a função x(t) é x(t) = 2t² - 2
a = x"(t) = 4
a = 4m/s²
(b) No sentido positivo do eixo do x.
33. Os carros A e B se movem no mesmo sentido em pistas adjacentes. A posição x do carro A é dada na Fig. 2-21, do instante t = 0 a t = 7,0 s. Em t = 0, o carro B está em x = 0, com uma velocidade de 12 m/s e uma aceleração negativa $ { a }_{ B }$. (a) Qual deve ser $ { a }_{ B } $ de modo que os carros estejam lado a lado (momentaneamente com o mesmo valor de x) em t = 4,0 s? (b) Para este valor de $ { a }_{ B } $, quantas vezes os carros ficam lado a lado? (c) Esboce a posição x do carro B versus o tempo t na Fig. 2-21. Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o modulo da aceleração $ { a }_{ B } $ fosse (d) maior do que e (e) menor do que aquele da resposta da parte (a)?
R.
(a) Olhando o gráfico, para t = 4 s, $ { x }_{ A }$ = 28 m. Então:
$ { x }_{ B }={ x }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { { a }_{ B }{ t }^{ 2 } }{ 2 } $
Mas $ { x }_{ B } = { x }_{ A }$ (para que fiquem lado a lado), então:
$ 28=0+12\cdot 4+\frac { { a }_{ B }{ 4 }^{ 2 } }{ 2 } $
$ { a }_{ B }=-2,5 $ m/s²
(b) $ { x }_{ A }(t)\quad =\quad { x }_{ B }(t)\\ { xo }_{ A }\quad +\quad { V }_{ A }t\quad =\quad { xo }_{ B }\quad +\quad { Vo }_{ B }t\quad +\quad \frac { { a }_{ B }{ t }^{ 2 } }{ 2 } \\ 20\quad +\quad 2t\quad =\quad 0\quad +\quad 12t\quad -\quad \frac { 2,5{ t }^{ 2 } }{ 2 } \\ \frac { 2,5{ t }^{ 2 } }{ 2 } \quad -\quad 10t\quad +\quad 20\quad =\quad 0\\ \Delta \quad =\quad -(-10)\quad -\quad 4\cdot 1,25\cdot 20\\ \Delta \quad =\quad 0\\ t\quad =\quad \frac { -(-10)\pm \sqrt { \Delta } }{ 2\cdot 1,25 } \\ { t }_{ 1 }\quad =\quad { t }_{ 2 }\quad =\quad 4\quad $
Portanto, apenas uma vez, em t = 4 s.
(c)
(d) Se a aceleração for maior que 2,5 m/s² (módulo), $ \Delta \quad <\quad 0 $, sem solução real, portanto, não se encontrariam.
(e) Se a aceleração for menor que 2,5 m/s² (módulo), $ \Delta \quad >\quad 0 $, admite duas soluções reais, portanto, se encontriam em dois instantes.
35. Dois trens se movem sobre um mesmo trilho, quando seus condutores subitamente notam que eles estão indo um de encontro ao outro. A fig. 2-22 fornece suas velocidades v como função do tempo t à medida que os condutores desaceleram os trens. O processo de desaceleração começa quando os trens estão separados por 200 m. Qual é a separação entre os trens quando ambos tiverem parado?
R. Vamos chamar de gráfico da velocidade do trem A a linha contínua e gráfico da velocidade do trem B a linha tracejada. Observe que o trem B está se movendo no sentido negativo do eixo do x, assim, vamos considerar o módulo da sua velocidade para calcular sua posição: A área do gráfico de v versus t nos dá a posição da partícula, portanto:
$ { x }_{ A }=\frac { 40\cdot 5 }{ 2 } \\ { x }_{ A }=100 m$
$ { x }_{ B }=\frac { 30\cdot 4 }{ 2 } \\ { x }_{ A }=60 m$
O trem A anda 100 m até parar e o trem B 60 m. Tínhamos 200 m separando os trens, portanto, ficam separados 40 m.
37. Quando um trem de passageiros de grande velocidade viajando a 161 km/h faz uma curva, o maquinista fica chocado ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de uma junção e se encontra a uma distância D = 676 m à sua frente (Fig. 2-24). A locomotiva está se movendo a 29,0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os freios. (a) Qual deve ser o módulo da desaceleração constante mínima para se evitar a colisão? (b) Suponha que o maquinista está em x = 0 quando, em t = 0, ele avista a locomotiva. Esboce as curvas x(t) para a locomotiva e para o trem de alta velocidade para os casos em que por pouco se evita a colisão e quando não se consegue evitá-la.
R.
(a) O trem e a locomotiva se movem no mesmo sentido, portanto, podemos considerar a locomotiva parada e somente o trem se movendo com a diferença de suas velocidades:
$ { V }_{ t }=162-29\\ { V }_{ t }=132\quad km/h\quad =\quad 36,666\quad m/s $
Assim, usando Torricelli,
${ V }^{ 2 }={ { V }_{ 0 } }^{ 2 }+2a\Delta x\\ a=\frac { { V }^{ 2 }-{ V }^{ 2 } }{ 2\Delta x } \\ a=\frac { 0-{ 36,666 }^{ 2 } }{ 2\cdot 676 } \\ a=-0,994\quad m/{ s }^{ 2 }$
(b) Evitando a colisão:
39. Em um canteiro de obras, uma chave de cano atinge o solo com uma velocidade de 24 m/s. (a) De que altura deixaram-na cair por descuido? (b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os gráficos de y, de v, e de a versus t para a chave de cano.
R.
(a) Aplicando Torricelli:
$ { V }^{ 2 }={ { V }_{ 0 } }^{ 2 }+2g\Delta y\\ \Delta y=\frac { { V }^{ 2 }-{ { V }_{ 0 } }^{ 2 } }{ 2g } \\ y-{ y }_{ 0 }=\frac { { V }^{ 2 }-{ { V }_{ 0 } }^{ 2 } }{ 2g } $
Sabendo que Vo = 0 e que a altura do solo é zero (Y = 0), ficamos com:
$ 0-y=\frac { { 24 }^{ 2 }-{ 0 }^{ 2 } }{ 2\cdot (-9,8) } \\ y=29,387\quad m $
(b)
$ V={ V }_{ 0 }-gt\\ t=-\frac { V-{ V }_{ 0 } }{ g } \\ t=-\frac { -24-0 }{ 9,8 } \\ t=2,448\quad s $
(c)
41. (a) Com que velocidade devemos lançar uma bola a partir do repouso para que ela atinja uma altura máxima de 50 m? (b) Por quanto tempo ela permanece no ar? (c) Esboce os gráficos de y, de v, e de a versus t para a bola. Nos dois primeiros gráficos, indique o instante no qual ela atinge os 50 m.
R.
(a) Torricelli:
$ { v }^{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }-2g\Delta y\\ { v }^{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }-2g(y-{ y }_{ 0 })\\ { v }_{ 0 }=\sqrt { { v }^{ 2 }+2g(y-{ y }_{ 0 }) } $
Yo = 0 e V = 0, portanto,
$ { v }_{ 0 }=\sqrt { { 0 }^{ 2 }+2\cdot 9,8\cdot (50-{ 0 }) } \\ \\ { v }_{ 0 }=31,304\quad m/s $
(b) $ v={ v }_{ 0 }-gt\\ t=-\frac { v-{ v }_{ 0 } }{ g } \\ t=-\frac { (0-31,304) }{ 9,8 } \\ t=3,194\quad s $
Esse é o tempo que leva para subir. Para descer é exatamente outro tempo desse, ou seja, a bola passa 2 x 3,194 = 6,388 s no ar.
43. Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12 m/s e está a 80 m acima do solo quando um pacote é solto por um de seus lados. (a) Quanto tempo o pacote leva até atingir o solo? (b) Com que velocidade ele atinge o solo?
R.
(a)
$ y={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { a{ t }^{ 2 } }{ 2 } \\ 0=80+12t-\frac { 9,8{ t }^{ 2 } }{ 2 } \\ 4,9{ t }^{ 2 }-12t-80=0\\ t'\cong -3\quad s\\ t"\cong 5,44\quad s $
(b)
$ v={ v }_{ 0 }+at\\ v=12-9,8\cdot 5,44\\ v=-41,312\quad m/s $
45. No instante t = 0, uma maçã 1 é largada de uma ponte, caindo numa estrada abaixo da mesma; num instante posterior, uma maçã 2 é jogada para baixo da mesma altura. A Fig. 2-25 fornece as posições verticais y das maçãs versus o tempo durante as respectivas quedas até que ambas atinjam a estrada. Qual velocidade aproximada com a qual a maçã 2 foi jogada para baixo?
R.
Para a maçã 1:
$ y={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }\Delta t+\frac { a\Delta { t }^{ 2 } }{ 2 } \\ { y }_{ 0 }=y-{ v }_{ 0 }\Delta t-\frac { a{ \Delta t }^{ 2 } }{ 2 } \\ { y }_{ 0 }=0-0\cdot (2-0)-\frac { (-9,8)\cdot { (2-0) }^{ 2 } }{ 2 } \\ { y }_{ 0 }=19,6\quad m $
Para a maçã 2:
$ y={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }\Delta t+\frac { a\Delta { t }^{ 2 } }{ 2 } \\ { v }_{ 0 }=\frac { y-{ y }_{ 0 }-\frac { a\Delta t² }{ 2 } }{ \Delta t } \\ { v }_{ 0 }=\frac { 0-19,6-\frac { (-9,8)\cdot (2,25-1)² }{ 2 } }{ (2,25-1) } \\ { v }_{ 0 }=-9,555\quad m/s $
47. Uma chave cai de uma ponte que está a 45 m acima da água. Ela cai sobre um barco, que se move com velocidade constante e estava a 12 m do ponto de impacto quando a chave foi solta. Qual é a velocidade do barco?
R.
Calculamos o tempo de queda da chave. Esse tempo é o mesmo que o barco leva para sair do seu ponto inicial até chegar ao ponto onde cai a chave.
$ y={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { a{ t }^{ 2 } }{ 2 } \\ 0=45+0t-\frac { 9,8t² }{ 2 } \\ 4,9t²=45\\ t=3,03\quad s $
Sabendo o tempo de deslocamento do barco e de quanto foi deslocamento, temos sua velocidade:
$ v=\frac { \Delta x }{ \Delta t } \\ v=\frac { 12 }{ 3,03 } \\ v=3,96\quad m/s $
49. Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão. Ela fica em contato com o chão por 20,0 ms antes de parar completamente. (a) Qual é o módulo da aceleração média da bola durante esse contato com o chão? (Trate a bola como uma partícula.) (b) Qual é o sentido da aceleração média?
R.
(a) Vamos calcular a velocidade com que a bola chega ao chão:
$ { v }^{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }+2a(y-{ y }_{ 0 })\\ { v }^{ 2 }=2\cdot (-9,8)(0-15)\\ v=-17,146\quad m/s $
Agora, a aceleração:
$ a=\frac { \Delta v }{ \Delta t } \\ a=\frac { 17,146 }{ 20\cdot { 10 }^{ -3 } } \\ a=\quad 857,321\quad m/s² $
(b) Para cima, ora, no sentido de parar a bola.
51. Para testar a qualidade de uma bola de tênis, você a deixa cair sobre o piso a partir de uma altura de 4,00 m. Ela retorna até uma altura de 2,00 m. Se a bola fica em contato com o piso por 12,0 ms, (a) qual é o módulo de sua aceleração média durante este contato e (b) qual o sentido da aceleração média?
R.
(a) Vamos calcular a velocidade com que a bola chega ao chão:
$ { v }^{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }+2a(y-{ y }_{ 0 })\\ { v }^{ 2 }=0-2\cdot 9,8(0-4)\\ { v }=-8,854\quad m/s $
Agora, a aceleração:
$ a=\frac { \Delta v }{ \Delta t } \\ a=\frac { 8,854 }{ 12\cdot { 10 }^{ -3 } } \\ a=737,833\quad m/s² $
(b) Para cima, ora, no sentido de parar a bola.
53. Água goteja de um chuveiro sobre um piso 200 cm abaixo. As gotas caem em intervalos de tempo regulares (iguais), com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota começa a cair. Quando a primeira gota atinge o piso, a que distância do chuveiro encontram-se (a) a segunda e (b) a terceira gotas?
R. Vamos calcular o tempo de queda da primeira uma gota:
$ y={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { at² }{ 2 } \\ 0=200+0\cdot t+\frac { (-9,8)t² }{ 2 } \\ t=0,6388\quad s $
Sabendo que em t = 0 a primeira gota começa a cair, ficamos com 3 intervalos de tempo até chegar aos 0,6388 s, portanto, 0,6388/3 = 0,2129.
Em t = 0 a primeira gota começa a cair, e demora 0,6388 s para atingir o chão;
Em t = 0,2129 a segunda gota começa a cair, mas está caindo a 4259 s quando a 1ª atinge o chão;
Em t = 0,4259 a terceira gota começa a cair, mas está caindo a 0,2129 s quando a 1ª atinge o chão;
Em t = 0,6388 a quarta gota começa a cair. Está na iminência de cair quando a 1ª atinge o chão.
(a)
Para a segunda gota, ou seja, em t = 0,4259, temos:
$ { y }_{ 2 }={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { at² }{ 2 } \\ { y }_{ 2 }=2+0\cdot t-\frac { 9,8\cdot (0,4259)² }{ 2 } \\ { y }_{ 2 }=\quad 1,1111\quad m $
2 - 1,1111 = 0,8889 metros. 88 cm
(b)
Para a terceira gota, ou seja, em t = 0,2129, temos:
$ { y }_{ 3 }={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { at² }{ 2 } \\ { y }_{ 3 }=2+0\cdot t-\frac { 9,8\cdot (0,2129)² }{ 2 } \\ { y }_{ 3 }=\quad 1,7777\quad m $
2 - 1,7777 = 0,2223 metros. 22 cm
55. Um gato sonolento percebe um vaso de flores que passa, primeiro subindo e depois descendo, por uma janela aberta. O vaso fica visível por um tempo total de 0,50 s, e a altura da base ao top da janela é de 2,00 m. Que altura, acima do topo da janela, o vaso atinge?
R.
0,50 s é o tempo total visível, ou seja, 0,25 s para subir os 2 m da janela e 0,25 s para descer os mesmos 2 m. Vamos calcular a velocidade Vo na base da janela:
$ { y }={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { at² }{ 2 } \\ 2=0+{ v }_{ 0 }\cdot 0,25-\frac { 9,8(0,25)² }{ 2 } \\ { v }_{ 0 }=9,225\quad m/s $
Agora, usando Torricelli, calculamos a altura (h) acima do topo da janela:
$ v²={ v }_{ 0 }^{ 2 }+2a[(y+h)-{ y }_{ 0 }]\\ 0=(9,225)²-2\cdot 9,8[(2+h)-0]\\ 19,6(2+h)=(9,225)²\\ 39,2+19,6h=85,100625\\ 19,6h=45,900625\\ h=2,3418\quad m $
57. Uma bola de aço é soltada do telhado de um edifício e passa por uma janela, levando 0,125 s para cair do topo à base da janela, uma distância correspondente a 1,20 m. Ela então cai sobre uma calçada e retorna passando pela janela, movendo-se agora de baixo para cima em 0,125 s. Suponha que o movimento para cima corresponda exatamente ao reverso da queda. O tempo que a bola gasta abaixo da base da janela é 2,00 s. Qual a altura do edifício?
R.
Vamos calcular a velocidade Vo com que a bola começa a descer a janela:
$ y={ y }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }t+\frac { at² }{ 2 } \\ 0=1,2+{ v }_{ 0 }\cdot 0,125-\frac { 9,8t² }{ 2 } \\ { v }_{ 0 }=-8,9875\quad m/s $
Sabendo que a bola é solta (Vo = 0), podemos encontrar a altura acima do topo da janela (h1):
$ { v }^{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }+2a\Delta y\\ (-18,9875)²=0²-2\cdot 9,85\cdot { (-h }_{ 1 })\\ { h }_{ 1 }=4,1211\quad m $
Agora, calculamos a velocidade V com que a bola passa pela janela:
$ v={ v }_{ 0 }+at\\ v=-8,9875-9,8\cdot 0,125\\ v=-10,2125\quad m/s $
Sabendo que a bola demora 2 s abaixo da janela, ou seja, 1 s para descer e 1 s para subir, podemos calcular a velocidade com que a bola chega ao solo:
$ v={ v }_{ 0 }+at\\ v=-10,2125-9,8\cdot 1\\ v=-20,0125\quad m/s $
E usar Torricelli para calcular a altura (h2) abaixo da janela:
$ { v }^{ 2 }={ v }_{ 0 }^{ 2 }+2a\Delta y\\ (-20,0125)²=(-10,2125)²-2\cdot 9,8\cdot (-{ h }_{ 2 })\\ { h }_{ 2 }=15,1125\quad m $
H = h1 + h2 + 1,2
H = 4,1211 + 15,1125 + 1,2
H = 20,4336 m
61. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é mostrado na Fig. 2-30?
R.
Em um gráfico de v versus t, a posição do móvel é dada pela área:
$ x=\frac { 2\cdot 8 }{ 2 } +(10-2)\cdot 8+\frac { (12-10)\cdot 4 }{ 2 } +(12-10)\cdot 4+(16-12)\cdot 4\\ x=100\quad m $
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